लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$

चरण 1

अभिलक्षणिक समीकरण $p (λ)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.

$p (λ) = सारणिक (A - λ I_{3})$

चरण 2

सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स $3$ $3 \times 3$ वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 3

ज्ञात मानों को $p (λ) = सारणिक (A - λ I_{3})$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$ को $A$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ I_{3})$

चरण 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ को $I_{3}$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $- λ$ को गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.2.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.3.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.4.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.4.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.6.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.6.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.7.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.7.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.8.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.8.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

चरण 4.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

चरण 4.3

Simplify each element.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

चरण 4.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

चरण 4.3.3

$3$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

चरण 4.3.4

$3$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

चरण 4.3.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

चरण 4.3.6

$0$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 & - 4 - λ \end{array}]$

चरण 5

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

चरण 5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

चरण 5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

चरण 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

चरण 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

चरण 5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

चरण 5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

चरण 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

चरण 5.2

$0$ को $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

चरण 5.3

$0$ को $| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0$

चरण 5.4

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) ((- 4 - λ) (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

चरण 5.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(- 4 - λ) (- 4 - λ)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 (- 4 - λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

चरण 5.4.2.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

चरण 5.4.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

चरण 5.4.2.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.2.1.1

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

चरण 5.4.2.1.2.1.2

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

चरण 5.4.2.1.2.1.3

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

चरण 5.4.2.1.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) + 0$

चरण 5.4.2.1.2.1.5

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) + 0$

चरण 5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

चरण 5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

चरण 5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

चरण 5.4.2.1.2.2

$4 λ$ और $4 λ$ जोड़ें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

चरण 5.4.2.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1) + 0$

चरण 5.4.2.2

$16$ में से $1$ घटाएं.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (8 λ + λ^{2} + 15) + 0$

चरण 5.4.2.3

$8 λ$ और $λ^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

चरण 5.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1

$0$ और $(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ जोड़ें.

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

चरण 5.5.1.2

$(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$

चरण 5.5.2

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ का प्रसार करें.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 6 (8 λ) - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

चरण 5.5.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

$8$ को $- 6$ से गुणा करें.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

चरण 5.5.3.2

$- 6$ को $15$ से गुणा करें.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

चरण 5.5.3.3

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.3.1

$λ^{2}$ ले जाएं.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

चरण 5.5.3.3.2

$λ^{2}$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.3.2.1

$λ$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

चरण 5.5.3.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{2 + 1} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

चरण 5.5.3.3.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

चरण 5.5.3.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ \cdot λ - λ \cdot 15$

चरण 5.5.3.5

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.5.1

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 15$

चरण 5.5.3.5.2

$λ$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

चरण 5.5.3.6

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

चरण 5.5.3.7

$15$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - 15 λ$

चरण 5.5.4

$- 6 λ^{2}$ में से $8 λ^{2}$ घटाएं.

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 15 λ$

चरण 5.5.5

$- 48 λ$ में से $15 λ$ घटाएं.

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 - λ^{3}$

चरण 5.5.6

$- 90$ ले जाएं.

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - λ^{3} - 90$

चरण 5.5.7

$- 63 λ$ ले जाएं.

$p (λ) = - 14 λ^{2} - λ^{3} - 63 λ - 90$

चरण 5.5.8

$- 14 λ^{2}$ और $- λ^{3}$ को पुन: क्रमित करें.

$p (λ) = - λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$

चरण 6

आइगेन मान $λ$ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को $0$ के बराबर सेट करें.

$- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

चरण 7

$λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.1

$- λ^{3}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (λ^{3}) - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

चरण 7.1.1.2

$- 14 λ^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - 63 λ - 90 = 0$

चरण 7.1.1.3

$- 63 λ$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 90 = 0$

चरण 7.1.1.4

$- 90$ को $- 1 (90)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

चरण 7.1.1.5

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

चरण 7.1.1.6

$- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

चरण 7.1.1.7

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 (90)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90) = 0$

चरण 7.1.2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

$q = \pm 1$

चरण 7.1.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

चरण 7.1.2.3

$- 3$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 3$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.3.1

$- 3$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 3)}^{3} + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

चरण 7.1.2.3.2

$- 3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 27 + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

चरण 7.1.2.3.3

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 27 + 14 \cdot 9 + 63 \cdot - 3 + 90$

चरण 7.1.2.3.4

$14$ को $9$ से गुणा करें.

$- 27 + 126 + 63 \cdot - 3 + 90$

चरण 7.1.2.3.5

$- 27$ और $126$ जोड़ें.

$99 + 63 \cdot - 3 + 90$

चरण 7.1.2.3.6

$63$ को $- 3$ से गुणा करें.

$99 - 189 + 90$

चरण 7.1.2.3.7

$99$ में से $189$ घटाएं.

$- 90 + 90$

चरण 7.1.2.3.8

$- 90$ और $90$ जोड़ें.

$0$

चरण 7.1.2.4

चूँकि $- 3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $λ + 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90}{λ + 3}$

चरण 7.1.2.5

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ को $λ + 3$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$63 λ$

$90$

चरण 7.1.2.5.2

भाज्य $λ^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $λ$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$

चरण 7.1.2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

चरण 7.1.2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $λ^{3} + 3 λ^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

चरण 7.1.2.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

चरण 7.1.2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

चरण 7.1.2.5.7

भाज्य $11 λ^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $λ$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

चरण 7.1.2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					+	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

चरण 7.1.2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $11 λ^{2} + 33 λ$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

चरण 7.1.2.5.10

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$

चरण 7.1.2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

चरण 7.1.2.5.12

भाज्य $30 λ$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $λ$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

चरण 7.1.2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							+	$30 λ$	+	$90$

चरण 7.1.2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $30 λ + 90$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$

चरण 7.1.2.5.15

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$
										$0$

चरण 7.1.2.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$λ^{2} + 11 λ + 30$

चरण 7.1.2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ लिखें.

$- ((λ + 3) (λ^{2} + 11 λ + 30)) = 0$

चरण 7.1.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1

AC विधि का उपयोग करके $λ^{2} + 11 λ + 30$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1.1

AC विधि का उपयोग करके $λ^{2} + 11 λ + 30$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $30$ है और जिसका योग $11$ है.

$5, 6$

चरण 7.1.3.1.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- ((λ + 3) ((λ + 5) (λ + 6))) = 0$

चरण 7.1.3.1.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- ((λ + 3) (λ + 5) (λ + 6)) = 0$

चरण 7.1.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$

चरण 7.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$λ + 3 = 0$

$λ + 5 = 0$

$λ + 6 = 0$

चरण 7.3

$λ + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$λ + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$λ + 3 = 0$

चरण 7.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$λ = - 3$

चरण 7.4

$λ + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$λ + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$λ + 5 = 0$

चरण 7.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$λ = - 5$

चरण 7.5

$λ + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$λ + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$λ + 6 = 0$

चरण 7.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$λ = - 6$

चरण 7.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$λ = - 3, - 5, - 6$